第1章

1.物理学家阿尔伯特·迈克尔逊于1894年在致芝加哥大学的Ryerson实验室的献辞中引用过开尔文勋爵（见D.Kleppner, Physics Today，1998年11月）。

2.罗德·开尔文，“Nineteenth Century Clouds over the Dynamical Theory of Heat and Light”，Phil.Mag.Ii 6th series，1（1901）。

3.阿尔伯特·爱因斯坦、内森·罗森和鲍里斯·波多斯基，Phys.Reu.47，777（1935）。

4.阿瑟·爱丁顿爵士，The Nature of the Physical World（Cambridge, Eng.：Cam-bridge University Press，1928）。

5.就像第6章注释2中更加详尽解释的那样，这样的说法有点过头，因为有些与相对奇怪的粒子（比如K介子和B介子）有关的例子表明，所谓的弱核力并没有平等的对待过去和未来。然而，从我以及其他思考过该问题的人的角度看来，由于这些粒子并没有在决定日常物体性质中起关键作用，所以它们不可能对解释时间之箭的谜团有什么重要作用（虽然，我不得不补充一句，没有人能肯定）。因此，虽然从技术水平上来说，这样描述有点过头，但我可以肯定，假设这些定律平等的对待过去和未来并不会犯什么大错——至少在解释时间之箭的谜团时是这样。

6.Timothy Ferris, Coming of Age in the Milky Way（New York：Anchor，1989）.

第2章

1.伊萨克·牛顿，《自然哲学之数学原理》。Sir Isaac Newton's Mathematical principle of Natural Philosophy and Hissystem of the world，译者，A.Motte与Florian Cajori（Berke-ley：University of California Press，1934），vol.1，p.10。

2.同上，P.6。

3.同上。

4.同上，P.12。

5.阿尔伯特·爱因斯坦为Max Jammer的著作Concepts of SPace：The Histories of The-ories of Spacein Physics（New York：Dover，1993）写的序言。

6.A.Rupert Hall, Isaac Newton, Aduenturer in Thought（Cambridge, Eng.：Cam-bridge University Press，1922），p.27.

7.同上。

8.H.G.Alexander编辑，The Leibniz-Clarke Correspondence（Manchester：Manchester University Press，1956）。

9.在那些反对空间可以独立于居于其间的物质而存在的人中，我以莱布尼茨为代表，但还有许多其他人也尽力维护相同的观点，其中克里斯蒂安·惠更斯和伯克莱主教较为知名。

10.参见，比如说，Max Jammer, P.116。

11.V.L.列宁，Materialism and Empiriocriticism：Critical Comments on a Reactionary Philosophy（New York：International Publications，1909）。为Materializm'i Empiriokrititsizm'：Kriticheskia Zametki ob'Odnoi Reaktsionnoi Filosofii（Moscow：Zveno Press，1909）的英文第2版。

第3章

1.对于受过数学训练的读者而言，这4个方程是：

▽·E=ρ/ε0，▽·B=0，▽×E+αB/αt=0，▽XB-ε0μ0αE/αt=μ0J，

其中E，B，ρ，J，ε0，μ0分别表示电场强度、磁场强度、电荷密度、电流密度、自由空间的介电常数和自由空间的磁导率。如上所示，麦克斯韦的方程将电磁场的变化率与电荷、电流联系起来。不难看出这些方程暗示着电磁波的波速为1/ε0μ＼0，而这实际上就是光速。

2.关于这些实验在爱因斯坦发展狭义相对论的过程中所起的作用还存在争议。在爱因斯坦的传记Subtle Is the Lord：The Science and the Life of Albert Einstein（Oxford：Oxford University Press，1982）pp.115-119中，亚伯拉罕·派萨认为，从爱因斯坦后几十年的陈述中可以看出他承认迈克尔逊莫雷实验的结果。Albrecht Fölsing在Albert Einstein：A Biography（New York：Viking，1997）pp.217-220中也写道，爱因斯坦承认迈克尔逊莫雷实验的结果以及早期寻找以太证据时所做实验的无效结果，比如阿曼德·菲佐的工作。但Fölsing和许多科学史家们都认为这些实验在爱因斯坦思想的形成中起了次要的作用。爱因斯坦首先是受数学的对称性、简易性和神秘的物理直觉引导的。

3.如果我们想要看到任何事物，光就不得不到达我们的眼睛；同理，如果我们要看到光，光本身也要先到达我们的眼睛。因此，当我说巴特看到飞驰的光时，这只是一种简略的说法。我们可以想象巴特有一队助手，都以和巴特相同的速度运动着，并且分布于他和光束所走路径的不同位置。他们不断给巴特更新信息：光走了多远以及光到达他们的时间。于是，基于这些信息，巴特就可以计算光比他快多少。

4.爱因斯坦对于时间和空间的见解源于狭义相对论，有许多基本的数学推导。如果你感兴趣的话，可以看一下《宇宙的琴弦》的第2章（在该章的注释中有很多数学细节）。埃德温·泰勒和约翰·阿奇博尔德写有一本更加专业但却非常清楚的报告Spacetime Physics：Introduction to Special Relatiuity（New York, W.H.Freeman & Co.，1992）。

5.以光速运行时，时间将停止是一个非常有趣的概念，但不要对这做过多解释。狭义相对论表明没有物体可以达到光速：一个物体运动得越快，我们就越难使它的速度增大。由于小于光速，我们将不得不给物体一个无限大的推力使其运动得更快，但这是我们所不能做到的。这样看来，“永恒的”（不受时间影响的）光子的说法仅限于无质量的物体（光子就是一个例子），因此“永恒之物”不过是一些可以达到标准的粒子而已。如果我们想要知道狭义相对论是如何影响我们的时间感受的，不妨想象一下当我们以光速运动时宇宙发生了什么变化，这是一个非常有趣且有益的游戏，最终我们的焦点将集中在物体比如我们将会发生哪些变化上。

6.见亚伯拉罕·派萨的Subtle Is the Lord pp.113-114。

7.为了使描述更加精确，我们将水面处于凹形的情形定义为水在旋转，反之则水没在旋转。从马赫式的角度来看，在一个空的宇宙里没有旋转的概念，因此水面总是平的（或者，为了避免出现没有重力作用于水的问题，我们说连接两块石头的绳子的张力总是松弛的）。这里的陈述即为，通过对比，狭义相对论中有旋转的概念，即便在真空的宇宙中也是如此，因此水面可以是凹的（连接两块石头的绳子的张力是紧绷的）。从这种意义上来说，狭义相对论背离了马赫的观点。

8.Albrecht Fölsing, Albert Einstein（New York：Viking Press，1977），pp.208-210.

9.数学功底不错的读者将会发现，如果我们通过选择单位，使光速取每单位时间走单位距离的形式（如每年1光年，每秒1光秒，其中1光年约6万亿英里，1光秒约186000英里），那么光将以45度的光线穿越时空（因为这样的对角线满足单位时间内走单位空间，两个时间单位内走两个空间单位，等等）。因为没有物体能够超越光速，所以任何物体在某一时间段走过空间不可能比光更多，因此该物体穿越时空的路径一定与图的中心线（该线起于面包皮，穿越了面包的中心，最后止于面包皮）呈一定角度，并且该角度要小于45度。而且，爱因斯坦指出，以速度u运动的观测者的时间片——该观测者处于某一时刻时的全部空间——都符合一个方程为简易起见，假设只有一个空间维度t运动=γ[t静止-（υ/c2）x静止]，其中，γ=（1-υ2/c2）-1/2，c表示光速。当单位c=1时，u＜1，因此对于运动的观测者的时间片而言——t运动取定值的位置——（t静止-υx静止）=定值。这样的时间片与静止的时间片（t静止=定值的位置）之间存在一定角度，因为u＜1，所以它们之间的角度小于45度。

10.对于数学功底不错的读者而言，闵科夫斯基时空的最短路径——两点之间最短的时空长度——是不依赖于任何坐标或参考系的几何实体。它们是内在的、绝对的、几何的时空性质。明确地说，用闵科夫斯基的度规标准来看，（类时）最短路径是直线（该线与时间轴的角度小于45度，因为不可能出现比光速更快的速度）。

11.重要的是所有的观测者，不管他们的运动状态如何，都将在这一点上达成一致。我们的描述中已间接说明了这一点，但它更值得我们直接说明。如果一件事情是另一件事情的原因（我扔了一块石头结果砸碎了窗户的玻璃），则所有人都会同意原因发生在结果之前（所有人都认为我先扔石头，然后窗户的玻璃碎了）。对于数学功底不错的读者而言，用数学的示意图描述将不难看出这一点。如果事件A是事件B的原因，那么从A到B的线条与每个时间片（事件A发生时观测者所看到的时间片）相交的角度将大于45度（空间轴与AB线之间的角度——轴位于给定的时间片——大于45度）。举个例子来说，如果A和B发生在空间的同一位置（橡皮筋绑着我的手指[A]结果我的手指变白[B]），那么连接AB的线条将与时间片呈90度的角度。如果A、B发生在空间的不同位置，从A到B发生的任何事情所造成的影响（我扔的石头从射击点到达窗户）都将比光速慢，这就意味着角度将不同于90度（无速度时的角度），也不会小于45度——也就是说，与时间片（空间轴）的角度将大于45度（本章的注释9中曾说明因光速的限制，这类运动轨迹最多呈45度）。现在我们再来看看注释9，处于运动状态的观测者的时间片与静止的观测者的时间片呈一定角度，但这个角度总是小于45度（因为两个观测者之间的运动的速度总是小于光速）。因为因果相关事件的角度总大于45度，观测者（他的速度肯定小于光速）的时间片，不可能先遇到结果再碰到原因。对所有的观测者而言，先因后果。

12.如果电磁感应比光速还快，上一条注释中所说的先因后果的观点将受到挑战。

13.伊萨克·牛顿，Sir Isaac Newton's Mathematical principles of Natural Philosophy and His System of the world，翻译A.Motte与Florian Cajori（Berkeley：University of Cali-fornia Press，1962），vol.1，p.634。

14.因为在地球表面不同位置所受到的引力不同，所以一个双臂伸展开的、处于自由落体运动的观测者也可以探测到剩余的引力的影响。也就是说，如果观测者下落时释放了两个棒球——一个从伸展开的右胳膊扔出，另一个从左胳膊扔出——每个都朝地心的位置下落。这样，从观测者的角度来看，他将竖直下落到地心，而他右手释放的球将竖直向下运动并稍微向左边一点，左手释放的球将竖直下落并稍微向右边一点。经过仔细的测量，观测者将发现这两个球之间的距离慢慢减小了；它们彼此向对方移动了一点儿。之所以是这样关键就在于，棒球从空间中两个略为不同的位置释放，所以它们自由下落到地心的路径也略有不同。因此，对爱因斯坦观点更准确的描述应为：一个物体的空间体积越小，它通过自由下落消除引力就越彻底。虽然这是理论中非常重要的一点，但在我们的讨论中完全可以放心的将其忽略。

15.要想更详细、更通俗地了解一下广义相对论对空间和时间的蜷曲的解释，可以看看《宇宙的琴弦》的第3章。

16.对于有过数学训练的读者而言，爱因斯坦的方程为Gμυ=（8πG/c4）Tμυ，其中等式左边是用爱因斯坦张量表示的时空曲率，右边是用能量动量张量表示的宇宙中物质和能量的分布。

17.查尔斯·迈斯纳、基普·索恩和约翰·阿奇博尔德·惠勒合著的Grauitation（San Francisco：W.H.Freeman and Co.，1973），pp.544-545。

18.在1954年，爱因斯坦给同事的信中写道：“实际上，人们应当不要再谈马赫原理了（在亚伯拉罕·派萨的《上帝是微妙的》中被引用，p.288）。”

19.就像前文中提到的，连续几代人把该想法归功于马赫，尽管他在自己的著作中并没有以这种方式明确地表达出来。

20.这儿需满足的一个条件是：那些在宇宙起源时距离我们很远，以至于它们的光——或引力作用——没有足够的时间到达我们的物体，对我们感受到的引力不会产生影响。

21.专业的读者可能会意识到这种说法，从学术的语言来看，有点说过头了，因为对于广义相对论而言存在非平凡的（也就是说，非闵科夫斯基空间）真空。我在这里利用了一个简单的事实做了简化，即没有引力存在的情况下，狭义相对论可被看做广义相对论的一种特殊情况。

22.为了平衡，我们来看一下不同意这一结论的物理学家和哲学家的说法。即使爱因斯坦放弃了马赫原理，在最近30年间马赫原理仍自有其存在价值。现在关于马赫原理有各种各样版本的诠释，比如，一些物理学家认为广义相对论实际上从根本上包含了马赫观点；只是时空并不具有它本可以具有的某些特殊形状——例如像真空宇宙的无限大平直时空。或许，他们提出，其他一些并不现实的时空——其中满是恒星和星系之类——实际上满足马赫原理。其他人则重塑了马赫原理的体系。在他们的体系中，问题不再是物体（比如说被绳子系着的两块石头或装满水的桶）在真空宇宙是怎样的，而是各种不同的时间片——各种不同的三维空间几何——究竟是怎样通过时间与其他时空片联系起来的。对有关这些想法的现代思考极具参考价值的是Mach's Prin-ciple：From Newton's Bucket to Quantum Grauity（《马赫原理：从牛顿的桶到量子引力》）Julian Barbour与Herbert Pfister编辑（Berlin：Birkh?user，1995），该书收集了与此问题有关的一些论文。有趣的是该书包含了一项民意测验：40名物理学家和哲学家对马赫原理的看法。大多数人（90%多）认为广义相对论并不完全符合马赫原理。另一本以明显的超马赫式观点对此问题进行讨论，并在一定程度上适合于普通读者阅读的，这本优秀且极其有趣的书是Julian Barbour的The End of Time：The Next Reuolution in Phys-ics（Oxford：Oxford University Press，1999）。

23.喜爱数学的读者在知道爱因斯坦认为空间不能独立于它的度规（描述时空距离关系的数学工具）而存在的观点后会感到很受启发，如果有人移走了每一样东西——包括度规——时空将不再是某种实体。当提到“时空”的时候，我指的都是一个拥有可解爱因斯坦方程的度规的流形，因此我们所得出的结论，用数学语言说就是，度规时空才是某种实体。

24.Max Jammer, Concepts of space, p.Xvii.

第4章

1.更确切地说，这看起来像是个可以追溯到亚里士多德的古老概念。

2.就像本书后面将要讨论的，在许多领域中（像大爆炸和黑洞）还存在着大量未解之谜，这些谜题至少可以部分的归结为：体积过小密度过高，从而造成爱因斯坦的优雅理论无法适用。因此，这里的描述适用于大部分情况，但已知定律无法应用的极端情况除外。

3.本文的最早读者中有一位擅长伏都魔咒，他告诉我，有些东西可以根据施魔咒者的意念——也就是灵魂——从一个地方被传送到另一个地方。因此，我这个充满幻想的非定域性例子——决定于你是否会伏都魔咒——可能是错的。不管怎么说，你搞清楚其中的思想就行了。

4.为了避免混乱，我再强调一下我刚才说的，“宇宙并非定域性的”，或者“我们在此地做的事情会与彼地的事情发生联系”，我并不是指能用瞬间的意念控制远在千里之外的事物。换句话说，我指的是相隔很远的地点（这两个地点距离非常远以至于都没有足够的时间让光从一个地点到达另一个地点）发生的事情之间的联系——通常以测量结果之间的联系的形式表示。因此，我指的是物理学家们所说的非定域关联。乍看之下，这样的关联可能不会使你特别惊奇。如果有人送给你一只盒子，里面有一只手套，而配套的另一只手套送给了你远在千里之外的朋友，你们其中任何一人打开各自的盒子看到的手套将与另一人的存在关联：如果你看到的是左手戴的那只，你朋友将看到右手那只；如果你看到右手那只，你朋友将看到左手那只。显然，这种关联并没有什么神秘之处。但是，就像我们逐渐要讨论的，量子世界中这种明显的关联就是一种与众不同的性质了。这就好像你有一副“量子手套”，一只左手的，一只右手的，当观察或者相互作用时，它们就会表现出明显的偏手性。诡异之处在于，虽然观察时每只手套都会随机选择偏手性，但即使它们被相隔很远，这两只手套也会一前一后地选择相应的偏手性：如果一只选择左边，另一只就会选择右边，反之亦然。

5.量子力学预言的微观世界与实验观测完全符合。就凭这一点，它就得到了大家的普遍认同。然而，本章中将要讨论的量子力学的具体特点，完全不同于常识，而且由于理论的数学公式不同（关于理论如何填补微观现象和宏观测量结果之间的空白的不同公式），人们就如何诠释理论（然而，理论可以从数学上解释各种各样的令人迷惑的数据）的各种特点并没有达成共识，包括非定域问题。在本章中，我持一种特殊的观点，我觉得它是建立在现代流行理论的理解和实验结果的基础上的最令人信服的观点。但在这儿我得强调一下并不是所有的人都同意这个观点，在后面的注释中详尽的解释完该观点之后，我将简要地介绍一下别人的观点并介绍更多相关的参考资料。我也得强调一下，在稍后的讨论中，实验将与爱因斯坦的信念（他认为实验数据只能用粒子具有明确但隐藏起来的性质来解释，而该性质没有任何非定域纠缠）相矛盾。不管怎样，这个观点的失败只能排除一种定域宇宙。它不能排除粒子有明确但隐藏起来的性质的可能性。

6.对于数学功底不错的读者而言，我们来看看这种描述可能导致的误解。对于多粒子系统而言，概率波（用标准术语的话，就是波函数）与刚才所讲的内容有本质上一样的诠释，但概率波被定义为粒子在位形空间的函数（对一个单独的粒子而言，位形空间与真实空间同构，但如果是N粒子系统，则它就变成3N维的了）。这对于我们思考波函数是一个真实的物理实体还是仅仅是一个数学工具非常重要，因为如果站在前者的立场，我们就需要认同位形空间的实在性——第2章、第3章主题的有趣变异。在相对论量子场论中，场可以在通常的四维时空中定义，但也有一些用得比较少的体系，使用了推广的波函数——定义在更为抽象的空间“场空间”上的所谓波泛函。

7.我在这儿提到的实验是光电效应实验，在该实验中，光照在各种金属上使金属表面发出电子。实验学家们发现，光的强度越高，发射出去的电子就越多。而且，实验还表明每个发射出去的电子的能量是由光的颜色——频率——决定的。爱因斯坦认为，如果光是由粒子组成的话，这很容易理解，因为光强越大就意味着光束中光的粒子（光子）越多——而且光子越多，撞击金属表面的机会就越多，从而使得金属发出的电子也越多。进一步来看，光的频率会决定每个光子能量，因此每个发射出去的光子的能量将精确的与数据相符。光子的粒子性最终在1923年被亚瑟·康普顿通过电子和光子的弹性散射实验证实。

8.索尔维国际物理讨论会，《第5届索尔维国际物理讨论会会议论文集》（Rapport et discussions du 5ème Conseil）（Paris，1928），pp.253ff。

9.Irene Born, trans.，《博恩和爱因斯坦书信集》（New York：Walker，1971），p.223。

10.亨利·斯坦普，Nuouo Cimento 40B（1977），191-204。

11.戴维·玻姆是20世纪量子力学领域最富有创造性的科学家之一。他于1917年出生于宾夕法尼亚州，曾是伯克利罗伯特·奥本海默的学生。在普林斯顿大学教书时，他曾被众议院非美活动调查委员会传唤，但他拒绝在听证会上作证。后来他离开美国，先后在巴西的圣保罗大学（S?o Paulo），以色列的理工大学（Technion），伦敦大学的伯克贝克（Birkbeck）学院任教授。1992年他在伦敦逝世。

12.当然，如果你等的时间足够长，你对一个粒子做的事情，从原理上讲，会影响另一个粒子：一个粒子可以发出某种信号警告另一个粒子它正被测量，而且该信号也会影响接收粒子。然而，由于没有信号会比光的速度更快，所以这种影响不会即刻发生。现在讨论的关键点在于，我们测量粒子绕某一给定的轴自旋时，会发现其他粒子也绕该轴自旋。因此，粒子之间的任何一种“标准”通信——光速或亚光速通信——都不能说明问题。

13.在本节和下一节中，我对贝尔发现的归纳，受到David Mermin的美妙文章的启发：“Quantum Mysteries for Anyone，”Journal of Philosophy 78，（1981），pp.397-408；“Can You Help Your Team Tonight by Watching on TV？”收录在Philosophical Consequences of Quantum Theory：Reflections on Bell's Theorem, James T.Cushing与Ernan McMullin编辑。（University of Notre Dame Press，1989）；“Spooky Action at a Distance：Mysteries of the Quantum Theory”发表于The Great Ideas Today（Encyclopaedia Britannica, Inc.，1988），全部收录在N.David Mermin的Boojums All The Way Through（Cambridge, Eng.：Cambridge University Press，1990）。如果有人对有关这些想法的技术问题感兴趣，那么最好从贝尔本人的论文开始，它们大部分都收录在J.S.贝尔，《量子力学可以言说的和不可以言说的》（Cambridge, Eng.：Cambridge University Press，1997）。

14.虽然定域性假设对爱因斯坦、波多斯基和罗森的论证是非常重要的，但研究者们努力寻找的却是其论证中其他一些元素的错误，以力图避免得出宇宙允许非定域性存在的结论。比如说，有些人偶尔会声称所有数据需要的是我们放弃所谓的实在主义——物体拥有的被测到的那些性质与测量过程无关。在这里，这样的看法错过了重点。如果EPR的论证得到了实验的证实，那么量子力学的长程关联性也没有什么神秘之处；它们不会比传统的长程关联性（比如你在这边发现左手手套就一定能够在那边发现右手手套）更令人惊奇。但这种推理受到了贝尔埃斯拜科特实验结果的驳斥。现在，即使我们为了回应EPR的驳斥而放弃实在主义——就像我们在标准量子力学中所做的——这也不会对削弱空间上相隔很远的随机过程之间的长程相关性的奇异性有多大帮助；当我们放弃了现实主义，手套就如注释4中所说的那样，成为“量子手套”。放弃现实主义无论如何也不会使观察到的非定域关联看起来不那么诡异。事实上，正是受EPR、贝尔和埃斯拜科特结果的启发，我们试图才保持实在主义——举个例子来说，正如在本章后面部分将要讨论到的玻姆理论中的情形——我们需要用来与数据保持一致的非定域性看起来更加严重，它与非定域的相互作用有关，而不仅仅是非定域关联。许多物理学家反对这样的选项，因此放弃了现实主义。

15.见穆雷·盖尔曼，The Quark and the Jaguar（夸克与美洲豹）（New York：Freeman，1994），以及Huw Price的Time's Arrow and Archimedes' Point（Oxford：Oxford University Press，1996）。

16.狭义相对论不允许任何曾比光速慢的物体超越光速限制。但如果某物总是比光跑得更快，它也不会被狭义相对论严格排除在外。这种假设的粒子被称作超光速粒子。大多数物理学家认为超光速粒子不存在，但有一些人则认为存在这种可能性。根据狭义相对论的方程，这种比光速还快的粒子具有一些特殊性质，所以目前，没有人发现它们有何种特殊用途——即使只是在理论假设上也没什么用。在现代研究中，人们普遍认为有超光速粒子的理论并不可靠。

17.数学功底不错的读者应该记着，本质上讲，狭义相对论要求物理定律具有洛伦兹不变性，也就是说，物理定律要在闵可夫斯基时空中的SO（3，1）坐标变换下具有不变性。那么，如果量子力学可以完全用洛伦兹不变性方式表达的话，我们就可以说它与狭义相对论相符。现在，相对论性的量子力学与相对论性的量子场论正在朝这个目标努力，但关于它们是否可以在洛伦兹不变的框架内解决量子力学的测量问题，人们还没有达成一致意见。举个例子来说，在相对论性场论中，可直接以洛伦兹不变的方式来计算各种实验结果的概率幅和概率。但标准做法描述了在量子概率范围内的或这或那的特定结果出现的方式——也就是说，在测量过程中发生的事情。这对量子纠缠而言是一个特别重要的问题，因为该现象会受实验者行为——测量纠缠态粒子特性的行为——的影响。有关更深入的讨论，请参考Tim Maudlin, Quantum Non-locality and Relatiuity（Oxford：Blackwell，2002）。

18.对于数学功底不错的读者，下面就是所做预言与这些实验相符的量子力学计算。假设探测器测量到的自旋所绕的轴分别是垂直、绕垂直轴顺时针旋转120度以及绕垂直轴逆时针转120度（就好比有表盘上的中午12点、4点和8点；有两个表盘，每个对应一个探测器、相对放置），为了便于讨论，想象一下，有两个电子，以所谓的单态形式背靠背的朝着探测器飞去。这种总自旋为零的态保证了如果一个电子处于自旋绕某轴向上的态的话，另一个电子将处于自旋向下的态，反之亦然。（还记得吗？在正文中为了方便，我曾将电子之间的关联描述为如果一个电子自旋向上，另一个电子自旋将也向上，如果一个自旋向下，另一个也向下；事实上，关联是指自旋处于相反的方向。为了与正文呼应，你可以将两个探测器想象为刻度相反，因此一个自旋向上，另一个则自旋向下。）基础量子力学的标准结果表明，如果两个探测器所测得的电子自旋所绕的轴之间的角度为θ，那么他们测量到相反自旋值的概率为cos2（θ/2）。因此，如果校准探测器的轴（θ=0），它们一定会测得相反的自旋值（类似于我们在正文中所讲的，当为探测器设定相同的方向时，测得的值总是相同的），如果把轴的方向调成+120°或-120°，则两个探测器测得相反自旋的概率为cos2（+120°或-120°）=1/4。现在，如果探测器的轴的方向是随机选择的，那么有1/3的概率指向相同的方向，2/3的概率指向相反的方向。因此，整体来看，发现相反的自旋的概率为（1/3）（1）+（2/3）（1/4）=1/2，和实验数据一致。

你可能觉得有点奇怪：在定域性假设的前提下，自旋关联的概率（大于50%）竟会大于我们用标准量子力学（恰好50%）算出的自旋关联；你可能会想，量子力学的长程纠缠应该产生更多的关联。事实上，确实如此。这里应当这样想：全部测量中有50%的关联性时，对于左右探测器的轴选定相同方向的测量来说，量子力学将带来100%的关联性。在爱因斯坦、波多斯基和罗森的定域性宇宙中，对于选定相同的轴方向的测量来说，要想有100%的符合，就需要全部测量中有大于55%的关联性。粗略地讲，在定域宇宙中，全部测量中50%的关联性将使得在选择相同轴的前提下出现小于100%的关联性——也就是说比我们在非定域宇宙中发现的关联性要小。

19.你可能会想，从一开始起，波函数的瞬间塌缩就与光速设定的速度上限相矛盾，因而必会与狭义相对论相矛盾。如果概率波像水波那样，你的结论将不容置疑。概率波的值在一个很大的范围内突然衰减为零，简直比太平洋的海面瞬间宁静、海水停止流动还要让人惊奇。但是，量子力学的支持者们提出，概率波不同于水波。虽然概率波描述物质，但它本身并不是物质。这些支持者们继续说，光速限制只适用于物质性对象，而其运动都可以直接看到、感觉到、探测到。如果仙女座星系中电子的概率波衰减为零，仙女座星系的物理学家们将100%的探测不到电子。仙女座星系的任何观测都不能表明概率波的突变与一些成功的探测行为——比如说在纽约发现电子——有关。只要电子本身没有以大于光速的速度从一个地方运动到另一个地方，就不会与狭义相对论相矛盾。正如你所看到的，唯一发生的事情是在纽约——而不是在别的什么地方——探测到电子。我们甚至都不需要讨论它的速度。因此，当概率波的瞬间塌缩是一种令人困惑不解的迷惑而且有问题的理论（在第7章中有更全面的讨论），但这并不意味着它与狭义相对论矛盾。

20.关于这些观点的讨论，可以参考Tim Maudlin, Quantum Nonlocality and Relatiuity。

第5章

1.对于数学功底不错的读者而言，从方程t运动=γ[t静止-（u/c2）x静止]（在第3章的注释9中曾讨论过）中我们发现丘巴卡在某一给定时刻的现在目录中将包含地球上的观测者声称是（u/c2）x地球之前发生的事情，其中x地球表示丘巴卡距离地球的距离。以上的描述是假设丘巴卡远离地球而去。如果是朝向地球的运动，u的方向相反，因此向地球移动的观测者将声称这样的事件发生在（u/c2）x地球之后。令u=10英里/小时，x地球=1010光年，我们发现（u/c2）x地球大约为150年。

2.这个数字——和后文中描述丘巴卡朝向地球的运动时用到的一个类似的数字——在本书出版时都是有效的。但随着地球上时间的流逝，它们会变得没那么精确。

3.数学功底不错的读者应该注意到，从不同角度切割时空条的比喻正是狭义相对论课程上教授过的时空图概念。在时空图中，从被认为是静止的观测者的角度看，某一特定时刻的所有三维空间都可以用一条水平线来表示（或者，在更准确的图示中，用一个水平面来表示），而时间可以用垂直轴来表示（在我们的叙述中，每个“面包片”——平面——代表的是某一时刻的所有空间，而横穿面包的轴则是时间轴）。时空图为讲清你和丘巴卡的现在片提供了一种有力的工具。

图中的细实线为相对于地球（为了使问题简化，我们假定地球既没有旋转也没有加速，这些因素对我们要讨论的问题并不重要，只能带来没有必要的复杂性）静止的观测者的等时线（现在片），细虚线为相对于地球以约9.3英里/小时的速度运动的观测者的等时线。当丘巴卡相对于地球静止时，细实线就代表了他的现在片（而你在整个故事中都安静地待在地球上，这些细实线总代表着你的现在片），粗实线代表的是包含了待在地球上的21世纪的你（左边的黑点）和他（右边的黑点）的现在片，你们俩都老老实实地坐在那里读书。当丘巴卡远离地球而去时，虚线就代表了他的现在片，粗虚线代表的是包含了丘巴卡（正站起来开始走）和约翰·维尔克斯·布思（左下的黑点）的现在片。注意，接下来的一条虚线时间片将包含丘巴卡走动（假设他仍然在四处逛）和21世纪的你静坐着读书。因此，你的某个时刻将出现在丘巴卡的两张现在目录上——一张是他走动之前的，另一张是他走动之后的。这就表明，简单的直觉上的现在概念——在被应用于整个空间时——可以被狭义相对论转换为具有不寻常性质的概念。而且，这些现在名单目录并不会违反因果关系：标准的因果关系（参见第3章注释11）仍然强而有力。丘巴卡的现在目录之所以会突变是因为他自己突然改变运动状态，从一个参考系跃入另一个参考系。但是，对于到底是哪个事件影响了哪个事件，所有的观测者——都用单独一种良好定义的时空坐标——都会认同同一个说法。

4.专业读者会意识到我把时空假设为闵可夫斯基时空。其他几何学中类似的论证不一定会适用于整个时空。

5.《阿尔伯特·爱因斯坦和麦·贝索书信集：1903-1955》（Albert Einstein and Michele Besso Correspondence 1903-1955，P.Speziali编辑Paris：Hermann，1972）。

6.这里的讨论意在对下面的问题给出一个定性上的认识。这个问题就是，你对自己所经历过的生活——正是这种生活经历留给了你那些记忆——有一种感受，这种感受的根基是由你此刻的感受和前一刻的回忆共同形成的，但是这个形成过程是怎样的？比如说，如果你的大脑和身体不知何故达到了与此刻一样的状态，那么你将体验到与你的记忆能够证实的那段经历相同的感觉（假设所有体验的根据都可以在大脑和身体的物理状态中找到），即便那些经历从未发生过，只是人为的印在你的大脑里也没关系。这里的讨论有一个简化之处，即假定了我们能感觉或体验到某一瞬间发生的事情，而事实上大脑识别和诠释它所收到的任何刺激都需要一段时间。不过，这一点虽然不错，但却与我所要讨论的内容没有特别的相关性；这虽然有趣但却会带来不必要的复杂性，而这种复杂性来自于用与人类的体验直接相关的方式分析时间。就像我们先前讨论到的，以人类为例子可以使我们的讨论更为通俗直观，但我们需要剔除那些从生理上看更加有趣而不是在物理上重要的部分。

7.你可能想知道本章的讨论与第3章中讲过的物体以光速“穿越”时空有什么联系。对那些数学功底不错的读者，这个问题可以粗略的回答为一个物体的历史可以表示为时空中的一条曲线——时空条中的一条路径，这条路径就是粒子所有时刻所在位置的集合（正如我们在图5.1中看到的那样）。穿越时空“运动”这一概念可以直观的表示成指明该路径（但是不要想象成追溯映入眼帘之前的路径）。在这条路上的“速度”可以这样得出：用路径的长度（两点之间的距离）除以该路径上某人或某物携带的表所记录的时间差。我们又一次遇到了不与时间流逝有关的概念：你需要做的只是看一下表在这两点的示数。你会发现，不论运动方式怎样，用这种方式得出的速度都等于光速。数学功底不错的读者会意识到这里的原因是：在闵可夫斯基时空的度规为ds2=c2dt2-dx2（其中dx2是欧几里得长度dx21+dx22+dx23），而钟表的时间（“固有”时间）为dτ2=ds2/c2。所以，很明显，刚才所定义的穿越时空的速度可由ds/dτ给出，结果等于c。

8.鲁道夫·卡那夫，“自传”收录在The Philosophy of Rudolf Carnap, P.A.Schilpp编辑（Chicago：Library of Living Philosophers，1963），p.37。

第6章

1.注意，我们提到的不对称性——时间之箭——来自于事件在时间中的发生顺序。你可能也想知道时间本身的不对称性——比如说，就像在后面的章节中我们将看到的，根据某些宇宙理论，时间可能曾有一个开始但可能不会有结束。这些是全然不同的时间不对称性概念，我们在这儿的讨论主要关注前者。虽然如此，在本章末我们将看到，事件在时间上的不对称性取决于早期宇宙历史的特殊条件，因此，可以将时间之箭与宇宙学的方方面面联系起来。

2.对于有数学功底的读者而言，让我来更为准确地说明一下时间反演对称性意味着什么，并谈谈一个有趣的例外，它对于我们本章中所讨论问题的意义还不完全明了。时间反演对称性概念可以简单地表述为，当一套物理定律的方程有解时，比如解为s（t），s（-t）也是该方程的一个解，则我们称该物理定律具有时间反演对称性。举个例子来说，在牛顿力学中，力取决于粒子的位置，若x（t）=[x1（t），x2（t），……，x3n（t）]是n个粒子在三维空间中的位置，则x（t）为方程d2x（t）/dt2=F[x（t）]的解，这也就意味着x（-t）也满足于牛顿方程，也就是说d2x（-t）/dt2=F[x（-t）]。注意x（-t）代表穿越相同位置——比如x（t）——的粒子运动，只不过是以相反的顺序，相反的速度而已。

在更普遍的情况下，物理定律也为我们提供了将物理系统的状态从初始时刻t0演化到t+t0时刻的运算法则。具体一点说，这种运算法则可以看成映射U（t），它可以将s（t0）映射到s（t+t0），即：s（t+t0）=U（t）s（t0）。如果映射T满足U（-t）=T-1U（t）T，我们就可以说得出U（t）的定律具有时间反演对称性。用通俗的语言来说，这个方程说的是，通过适当运算（用T来表示）物理系统某一时刻的状态，物理系统根据理论定律顺着时间方向在一段时间t内的演化[用U（t）来表示]等于系统逆着时间方向在同样时间t内的演化[用U（-t）来表示]。举个例子来说，如果我们将粒子系统的状态指定为粒子在某一时刻的位置和速度，那么T就可以在保持所有粒子位置不变的情况下使速度反转。这样的粒子分布顺着时间方向在t时间内的演化等于粒子的原始分布逆着时间方向在t时间内的演化（T-1因子消除了速度的反转。因此，到最后，不仅粒子的位置回到t个单位时间以前，它们的速度也将如此）。

某些定律中的T运算比牛顿力学中的T运算还要更加复杂。举个例子来说，如果我们研究带电荷粒子在电磁场中的运动，逆向速度还不足以使方程得出粒子回溯的演化。磁场的方向也需要反转（之所以有这种要求是为了使洛伦兹力公式中的uXB项保持不变。）因而，在这种情况下，T运算包含了这两种变换。除了反转所有粒子的速度外，我们还需要做些其他的事情这一事实对正文中的讨论没有影响。重要的是，粒子在一个方向上的运动与物理定律自洽的话，在另一个方向上的运动也与物理定律自洽。我们需要反转磁场不过是某种巧合，并没有什么特别的重要性。

而在弱核力相互作用中事情就不是这么简单了。弱相互作用需要用特殊的量子场论来描述（将在第9章中简要的讨论一下），一个普适的定理证明（还需要保证量子场论具有定域性，幺正性，洛伦兹不变性——这样的量子场论才是人们感兴趣的），量子场论在电荷共轭运算C（将粒子替换为其反粒子），宇称运算P（将粒子的位置变换到镜像位置），以及时间反演运算T（将时间t换为时间-t）的联合作用下总是具有对称性。所以，我们可以将运算?定义为CPT的乘积，但如果?具有不变性就会要求还有一种CP运算存在，?不应被简单的解释为原来的粒子回溯其路径（因为，粒子的种类也会被这样的?运算改变——粒子变成反粒子——所以逆向返回的并不是原来的粒子）。我们会发现，对于某些实验，我们没法很好的解释。对于某些特殊的粒子（比如K介子以及B介子）来说，它们可以在CPT运算下保持不变，但是在单独的T变换下没法保持不变。1964年，詹姆斯·克洛宁，瓦尔·菲奇（因为这一工作，他们两人获得了1980年诺贝尔物理学奖）及其合作者通过证明K介子破坏CP对称性（这就意味着必然会破坏T对称性，因为需要保持CPT不被破坏）间接的确认了这一点。更加晚近的时候，T对称性的破坏通过CERN的CPLEAR实验以及费米实验室的KTEV实验得以直接确立。简单地讲，这些实验证明，如果有人给你展示一段有这些介子参与的过程的影片，那么你就有办法看出这段影片到底是按正确的时间顺序播放，还是反着播放。换句话说，这些特殊的粒子可以区分过去和未来。还不清楚的是，这与我们每天所感受到的时间之箭是否存在某种联系。不管怎么说，这些奇特的粒子虽然可以在对撞机实验上瞬间产生出来，但却不是我们熟悉事物的组成粒子。对于包括我在内的很多物理学家来说，这些粒子展示的时间不可反转性看起来并不会对时间之箭的谜题有多大影响，所以我们不打算进一步讨论这些例外。但问题是，其实没人真的知道是不是这样。

3.我有时候发现，对于碎蛋壳真的重新聚合起来形成未破碎的蛋壳这样的理论命题，要接受起来还真是挺难的。但是，自然定律的时间反演对称性，正如在前一条注释中更为详细地探讨过的那样，会确保这样的事情能够发生。微观上，鸡蛋的破碎是一个与组成蛋壳的各种分子有关的物理过程。鸡蛋破碎，蛋壳四散，这是因为鸡蛋被摔碎过程中受到的冲击将分子强行拉开。如果这些分子运动反向发生，那么它们就会重新组合在一起，以先前的形式重新成为蛋壳。

4.为了使我们能够集中注意力，以现代方式思考这些思想，我会将一些有趣的历史略去。玻尔兹曼自己对熵这一主题的思考在19世纪70～80年代经历过重大精炼。在那个时期，他与一些物理学家的相互影响和交流对他来说是非常有帮助的，这些科学家包括詹姆斯·克拉克·麦克斯韦，开尔文勋爵，约瑟夫·洛施密特，约什亚·威拉德·吉布斯，亨利·庞加莱，S.H.勃柏利，以及欧内斯特·切梅罗。事实上，玻尔兹曼最初认为他可以证明，对于孤立的物理系统，熵会一直并且绝对化的不减，而不只是这样的熵减过程不太可能发生。但是来自上述以及其他一些物理学家的反对意见，促使玻尔兹曼强调这个问题中的统计或概率方法，而这种方法一直用到了今天。

5.我想象着我们正在用现代经典文库（Modern Library Classics）版的《战争与和平》，Constance Garnett译，1386页。

6.数学比较好的读者应该会注意到，由于数太大了，熵实际被定义为可能的排列数的对数，不过这一细节在这里与我们无关。但是，从理论的角度看，这一点非常重要，因为熵是所谓的广延量这一点非常方便，这意味着如果你把两个系统合在一起，那么整体的熵就是两个系统各自的熵的和。而仅当熵是对数的形式这一点才会成立，因为在这种情况下总的排列数会等于各自排列数的乘积，因而排列数的对数是相加性的。

7.尽管在理论上，我们可以预言每一页被放在哪里，你可能还是会关心决定着页序的另一个元素：你怎样把这些页整齐的摞在一起。这与所要讨论的物理无关，但如果它令你心烦的话，你可以这样想象：我们同意你把它们一张张地捡起，从离你最近的那张开始，然后再捡起离那张最近的一张，如此下去（而且，怎样确定最近的纸张都是一样的，比如说，我们都同意从纸张距离我们最近的一个角开始量起）。

8.以为对于不多的一些页，就能在达到预言其页序（运用某些方法将它们堆在一起，参见前一条注释）的精度上成功的算出其运动，实际上是极其乐观的想法。根据纸张柔韧性与重量的不同，这样一个相对“简单”的计算也远远超越了今天的计算机能力。

9.你可能会担心，定义页序的和定义一群分子的熵之间存在着根本性的差异。毕竟，页序是离散的——你可以一页一页的数清它，虽然所有的可能性总数会很大，但却是确定的。而相反的是，即使单独一个分子，其运动和位置都是连续的——你没法一个一个的数清，因而可能性的总数会是无限大（至少在经典物理中是这样）。所以，我们怎样数清分子的排列数呢？这个嘛，简单地说，这是个好问题，但却是个被完全解决了的问题——要是这能让你感到满意，那你就不用看下面的这段内容了。详细的回答你这个问题需要用到一点数学，要是没有基础的话可能不太好理解。物理学家用相空间——一个6N维空间（N为粒子数），其中的每个点代表着一个粒子的位置和速度（描述每个粒子的位置需要3个数，速度也是一样，因而N个粒子需要6N个数）——来描述经典多粒子系统。关键之处在于，相空间可以被划分为不同区域，给定区域内的所有点对应着具有外在相同整体性质的分子的速度速率分布。如果相空间给定区域的分子排布从一个点变化到同一区域的另一个点，那么在宏观上我们是没法区分这种变化的。现在，我们就不需要数清给定区域内点的数目——与数清不同页序的排列数最最直接的类比，但这种类比会导致无限大——物理学家们就用相空间中每一个区域的体积来定义熵。体积越大，则区域内的点越多，因而熵就越大。而区域的体积，即使是很高维度的空间中的区域，可以有严格的数学定义。（数学上，需要选取所谓的测度，对数学比较好的读者，我要指出，对于与给定宏观态相一致的所有微观态，我们通常选取的测度都是一样的——也就是说，与给定宏观性质有关的微观分布被假定为等权重。）

10.特别是，我们知道一种它可能发生的方式：如果几天前，CO2还在瓶中，那么从我们上面的讨论中我们可以知道，如果你现在同时反转每一个CO2分子的速度，以及每一个与CO2分子有相互作用的分子的速度，等上几天后，你将发现所有的CO2分子又聚集起来回到了瓶中。但是这种速度反转没法应用于实践，每件事看起来只能按其自己的步调发生。不过我需要指出，我们可以在数学上证明，只要等待的时间足够长，CO2分子早晚会按自己的步调退回到瓶中。19世纪，法国数学家约瑟夫·刘维尔证明的一个结果可以用来构建所谓的庞加莱可逆定理（Poincaré recurrence theo-rem）。根据这一定理，如果你的等待时间足够长，一个有限体积内具有有限温度的系统（比如封闭空间内的CO2分子）将会达到与其初始态任意接近的态（在本例中，所有的CO2分子都被封闭在可乐瓶中）。问题在于你到底得等多久它才会发生？对于一个其组分很多的系统来说，这个定理告诉我们，要想使其按自身步调回到其初始状态，你的等待时间可能会比宇宙的年龄还长。然而，理论上重要的是，如果你有足够的耐心，能够等待足够长的时间，那么空间中所有的物理系统都会回复到其初始状态。

11.你可能会想，水为什么会结成冰呢？那岂不意味着H2O分子变得更加有序，换句话说，岂不是获得了较低而不是较高的熵？这个嘛，大体上说来，液态的水变成固态的冰，会向周围的环境释放能量（而当冰化成水的时候，则会从环境中吸收能量），而这会导致环境中的熵有所提高。当环境温度足够低的时候，低于零摄氏度，环境中的熵增超过了水中的熵减，因此，结冰过程是一个熵减少的过程。这就是冬天为什么会结冰的原因。类似的，当你冰箱中的冰块形成时，H2O分子中的熵固然是减少了，但是在这个过程中冰箱会向周围的环境释放热量，因而会导致总的熵是增加了。对数学比较好的读者，更加准确的说法是，我们所讨论的这种自发现象由所谓的“自由能”掌控。直观上，自由能是一个系统中可以用来做功的那部分能量。数学上，自由能F，由F=U-Ts来定义，其中U代表总能量，T代表温度，s代表熵。如果某一过程会导致自由能减少，那该过程就可以自发产生。低温下，液态水中U的减少超过了固态冰中s的减少（超过了-Ts的增加），因而这个过程会自然发生。而在高温下（零摄氏度以上），冰由固态到液态或气态的转变则是符合熵的要求的（s的增加超过了U的改变），因而也会自然发生。

12.直接应用熵的论证究竟是怎样使我们得出记忆与历史记录是对过去不可信赖的记述这一结论的。关于这个问题，要想看看较早的讨论，可以参看C.F.von Weizs?cker的The Unity of Nature（New York：Farrar, Straus and Giroux，1980）中138-146页，最初发表在Annalen der Physik 36（1939）。要想看较新些的优秀作品，可以看看大卫·阿尔伯特的Time and Chance（Cambridge, Mass.：Harvard University Press，2000）。

13.事实上，因为物理定律无法区分时间上的前与后，所以对半小时前，晚上10点，完全结成冰块的解释同预言半小时后，晚上10点，小冰渣完全结成冰块一样，都可以说是极为荒唐——从熵的角度讲。相反，对晚上10点时液态的水，到了晚上10点半的时候慢慢形成了冰渣这一现象的解释，则与预测到了晚上11点的时候，那些冰渣又化为水在道理上是一样的，都是我们熟悉且可预期的事情。对后一种现象的解释，从晚上10点半看，前后的结冰和融化现象完全是对称的，而且与我们的实际观测是相符的。

14.特别细心的读者可能会想到，我在讨论中错误地使用“早期”这个词，因为这相当于插入了时间上的不对称性。按更为准确的语言，我想表达的是，我们会需要特殊的条件使时间维度的一端变得特别。在后面将会更加清楚，特殊的条件就是低熵的边界条件，而我所谓的“过去”，就是时间维度上满足这一条件的那一端。

15.时间之箭要求低熵的过去这一想法已经有很长的历史了，可追溯到玻尔兹曼及其同时代的人；在汉斯·雷肯巴赫著的The Direction of Time中有详细讨论（Mineola, N.Y.：Dover Publication），在罗杰·彭罗斯著的《皇帝的新脑》中以特别有趣的定量方式有所讨论。

16.回想一下，我们在本章中的讨论并没有考虑量子力学。如史蒂芬·霍金于20世纪70年代证明的那样，当量子力学的效应被考虑进来时，黑洞会允许一定数量的辐射逃离出去，但这不会影响他们称为宇宙中最高熵的物体。

17.一个很自然的问题是，我们是怎么知道未来不会有新的对熵有影响的限制出现。答案是我们没办法知道，某些科学家甚至提出一些实验，用以探测这些将来的限制对我们今天能够观测到的事物的影响。有一篇非常有趣的文章探讨了将来的和过去的一些对熵的限制的可能性，即Murray Gell-Mann与James Hartle合著的Time Symmetry and Asymmetry in Quantum Mechanics and Quantum Cosmology，收录在J.J.Halliwell, J.Pérez-Mercader, W.H.Zurek编辑的Physical Origins of Time Asymmetry（Cambridge, Eng.：Cambridge University Press，1996）。同一文集的第四和第五部分中也有一些关于这个问题的有趣文章。

18.在这一章中，我们一直在用“时间之箭”这个词，用以表达时空的时间轴（任意观测者的时间轴）具有不对称性这一明显事实：按时间轴的方向排列顺序的事件非常多，但是反向顺序的事件，即便不是没有，也是很少发生。很多年来，物理学家和哲学家一直在将事件顺序分成不同子类，在这些子类中，至少在理论上，时间上的不对称性可以归结于逻辑上独立的解释。比如说，热量总是从热的物体流向较冷的物体，反之则不行；电磁波总是从恒星或者电灯泡这样的源射出，看起来却永远不会聚拢回这些源；宇宙看起来是在碰撞，而不是在收缩；我们记住的是过去而不是未来（这些分别被称为热力学、电磁学、宇宙学、心理学上的时间之箭）。所有的这些都是时间不对称现象，不过至少在理论上，这些现象有可能从全然不同的物理原理中获得其各自的时间不对称性。我的观点（很多人也有这样的观点，而另一些人则不）是，除宇宙学上的时间之箭外，其他的时间不对称现象在基本层面上没有什么区别，它们都可以被归结为同样的解释——我们在本章中讲过的解释。比方说，电磁辐射为什么向外传播而不是向内传播？要知道这两种情形都是麦克斯韦方程的解。这个嘛，由于我们的宇宙有提供这些向外放射的波的低熵、连贯、有序的源——比如说恒星或电灯泡——而这些有序的源的存在又可追究到宇宙起源时的更为有序的环境，参见正文中的讨论。解释心理学上的时间之箭要稍微难一些，因为对于我们还没有搞懂的人类思想来说，还没有微观物理基础。但是，对于与计算机有关的时间之箭，人们却取得了一些进展。进行计算，完成计算，记录结果，对于这些基本的计算顺序，其中的熵的性质人们已经搞清楚了（查尔斯·本耐特，罗尔夫·兰道尔和其他一些人的贡献），且与热力学第二定律符合得非常好。因而，如果人类思想类似于计算过程，我们就可以对其应用类似的热力学解释。但是，也需要注意到，与宇宙正在膨胀而不是收缩这一事实紧密联系的不对称性，实际上与我们一直在探索的时间之箭有关，但在逻辑上却是完全不同的。即使宇宙慢慢减速，停止下来，再开始转入收缩过程，时间之箭还是会指向同一个方向。即便宇宙膨胀过程反转过来变成了收缩，物理过程（鸡蛋破碎，我们变老，等等）还是会像往常一样发生。

19.数学比较好的读者应当注意到，当我们使用这种概率声明时，我们假定了一种特别的概率测度，从而，与我们此刻所看到的宏观事物相容的所有微观态都有相同的测度。当然，还有另外一些我们能用的测度，比如说，大卫·阿尔伯特在Time and Chance中倡导使用的概率测度，对于所有的微观态——与我们此刻所看到的宏观事物以及他所谓的过去假设（the Past hypothesis，宇宙开始于低熵态这一明显的事实）相容的微观态——都是一样的。利用这样的测度，我们可以不用考虑那些与低熵的过去——为我们的记忆、记录以及宇宙学理论所确证——不相容的历史。按这种思考方式，一个低熵的宇宙是没有概率问题的；根据假设，宇宙按低熵方式开始的概率为100%。但仍有一个重大问题：宇宙为什么会按那种方式开始？关于宇宙的问题甚至都没在概率背景下表述。

20.你可能会忍不住争辩，已知宇宙在早期之所以低熵不过是因为其尺寸远比今天要小，因而，正如书页较少的书熵也低些，早期宇宙中的组分所可能有的排列数要更少些。但是，只依靠这种说法说服自己是没有用的。很小的宇宙也可以有很高的熵。比方说，我们宇宙的命运之一（尽管很不可能）就是在未来的某一天停止膨胀，然后向内爆裂，结束于所谓的大收缩（big crunch）。计算表明，即使宇宙的尺寸在向内爆裂阶段减小，熵也仍会增加，这就显示了小体积并不一定意味着低熵。不过，我们将会在第11章中看到，宇宙初期的小尺寸的确会在我们当今对低熵起源的最佳解释中占有一席之地。

第7章

1.众所周知，如果你所研究的是三体乃至更多体相互作用的运动问题，经典物理的方程是不能精确求解的。所以，即使在经典物理中，任何有关大群粒子运动的语言也都只能是近似的。但问题在于，在经典物理中，对近似的精确度不会有基本层面的限制存在。在经典物理掌控的世界中，所用的计算机能力越强，位置和速度的初始数据给的越精确，我们所能得到的结果就越精确。

2.在第4章结尾，我注意到贝尔、艾斯柏克特以及其他人的结果并没有排除粒子总是有确定的位置和速度——即便我们没法同时确定这些量——这种可能性。而且，玻姆版的量子力学清楚地实现了这种可能性。因而，尽管人们普遍认为，像电子在被测量之前不会有一个位置这种事，属于传统方法的量子力学中的标准性质。但是严格说来，将其作为一条普遍适用的声明未免太牵强了些。记住，在玻姆的方法中，我们将会在本章稍后讨论到，粒子总是与概率波“相伴”；也就是说，玻姆的理论总要用到粒子与波，而标准方法用的是互补性，可概括为粒子或波。因而，我们所探求的结论——如果我们单说一个粒子在每一个确定的时刻通过空间中一个确定的点（在经典物理中我们就会这么做），那对过去的量子力学描述绝对是不完备的——但还是正确的。在传统方法的量子力学中，我们必须将一个粒子在给定时刻所能占据的大量位置都考虑进去，而在玻姆的方法中，我们也必须将“导”（Pilot）波——而它也可以延展至很多个位置——包括进去（专家级读者应该会注意到，导波只不过是传统量子力学中的波函数，尽管其在玻姆理论中的化身相当不同）。为了避免无边的限定，我们在接下来的讨论中将使用传统的量子力学观点（最为广泛使用的方法），对玻姆以及其他方法的评论将放在本章最后。

3.要想看看数学化一点但同时又高度教学式的说明，可以参考理查德·费曼与A.R.希布斯合著的Quantum Mechanics and Path Integrals（Burr Ridge, Ill.：McGraw-Hill Higher Education，1965）。

4.你可能会忍不住援引第3章中的讨论——从那里的讨论中我们了解到在光速时时间停止——来辩称，从光子的角度看，所有的时间都一样，所以，光子在经过分束器时“知道”探测器的开关如何设定。但是，我们用其他慢于光速的粒子，比如光子，也可以做这样的实验，而结果不变。因而，这样的角度不能揭示物理实质。