一、数学证明论证及其结构

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典型案例

在数学证明尤其是几何证明中,一般都离不开论证。在把握数学定理的证明过程中,首先必须分清论题和论据,然后,还需要弄清楚其中所用到的推理形式或者论证方式,才能更有效地学习相应的知识,并将之转换为一种论证能力。

现行初一数学课本(人教版)下册,在讲“平行线的性质”时,给出了下面的问题来让学生思考:

上一节,我们利用“同位角相等,两直线平行”推出了“内错角相等,两直线平行”。类似地,你能根据性质1(两直线平行,同位角相等),推出性质2(两直线平行,内错角相等)吗?

如图7—1所示:

因为a∥b,所以,∠1=∠2(同位角相等)。

又∠3=∠1(对顶角相等),

所以,∠2=∠3。

对于上述问题,目前我们的教材或者教辅书上,在分析相应的证明时,主要将相应问题分为题设和结论两个部分,认为它们都是判断,而题设和结论之间就是“如果……那么……”的关系。其实,如果真正能够处处从一个证明的内在结构来加以分析,可能效果会比现在的情况要好得多。

逻辑辨析

在上述“平行线的性质”的思考问题中,我们可以这样来分析:

首先,这个问题的目标、目的是什么,也就是论点、论题或结论是什么?然后就是给出了什么样的已知条件,即论据或根据。最后,也是最重要的,就是怎样根据所给出的已知条件来推出或者论证论点的成立。其中,必须讲清楚具体论证过程中所用到的基本推理形式或者论证形式。经过长期教学,学生就可以习惯这样的逻辑思维模式,从而更好、更严谨地去理解和把握证明。

知识链接

任何一个证明都是由论题、论据和论证方式三个要素构成的。

论题也称为论点,是指通过论证要确定其真实性的判断。它回答的是“证明什么”的问题。上述问题思考中证明的论题是:平行线的性质2(两直线平行,内错角相等)。

论据也称为证据,它是用来确定论题真实性的判断。回答的是“用什么来证明”的问题。上述问题思考中,平行线的性质1(两直线平行,同位角相等)等都是论据。

可以作为论据的判断包括两类。一类是已被确认的关于事实的判断,即事实论据。另一类是表述科学原理的判断,即理论论据。用前者作为论据去证明论题叫作“摆事实”,用后者作为论据去证明论题叫作“讲道理”。用论据证明论题的过程实际上就是“摆事实,讲道理”的过程。就上述问题思考中的证明而言,“a∥b”是事实论据,而“平行线的性质1(两直线平行,同位角相等)”、“对顶角相等”等则是理论论据。

论证方式是指论据和论题之间的联系方式,即证明过程中所使用的推理形式。它回答的是“怎样用论据证明论题”的问题。上述问题思考中的证明,首先使用了下面的推理,即:如果两条直线平行,那么同位角相等;a∥b;所以,∠1=∠2。该推理为充分条件肯定前件到肯定后件的假言推理,是一个形式有效的推理。

上述问题思考中,在论证“∠2=∠3”的真实性时,运用了下面一个传递关系的有效推理,即:∠1=∠2;∠3=∠1;所以,∠2=∠3。

而且,关于∠3=∠1的得出,又运用了下述三段论推理,即:凡对顶角都相等;∠3与∠1是对顶角;所以,∠3=∠1。

总之,上述问题思考中所用到的论证都属于演绎论证。数学证明中,大量使用的都是演绎论证。

扩展延伸

在数学证明中,如果一个判断表述为充分条件判断,则意味着其前件为前提或论据,后件为结论或论点。其后件才是真正要确证的目标,前件则是已知条件,而且通常都是关于事实的已知论据。而要确证所要求证的判断为真,当然还需要运用更多的已知条件,这些已知条件通常都是理论论据或者前面已经得到确证的定理。

数学中所说的逆定理,是说一个定理的逆判断也是成立的。两个定理互为逆定理则意味着,这两个定理的判断之间具有相互推出的关系,这时的定理其实断定了一个充要条件的假言判断。

如上述问题思考中的性质1:如果两条直线平行,那么同位角相等。其逆定理是:如果同位角相等,那么两条直线平行。性质1及其逆定理还可以表述为:当且仅当两条直线平行,其同位角相等。

现行初一数学课本(人教版)下册,在讲述勾股定理的逆定理时,给出了下面的例题:

判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形:

(1)a=15,b=8,c=17;

(2)a=13,b=14,c=15。

分析:根据勾股定理的逆定理,判断一个三角形是不是直角三角形,只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方。

解:(1)因为152+82=225+64=289,而且172=289,所以,152+82=172,这个三角形是直角三角形。

(2)因为132+142=169+196=365,而152=225,所以,132+142≠152,这个三角形不是直角三角形。

上述例题的“解”中,例(1)和例(2)的最后一句都是论点,而前面部分都是论据。但在它们的求解过程中,所用到的推理是不同的。例题(1)中用到的是充要条件假言推理的肯定前件式;例题(2)所用的推理则是充要条件假言推理的否定前件式,但都是有效的推理形式。即:

(1)当且仅当在一个三角形中,a2+b2=c2,则这个三角形是直角三角形;152+82=172;所以,这个三角形是直角三角形。

(2)当且仅当在一个三角形中,a2+b2=c2,则这个三角形是直角三角形;132+142≠152;所以,这个三角形不是直角三角形。

简单分析例题(1)和(2),似乎用的都是充分条件假言推理而已。但如果这样看待的话,则例题(2)就是一个充分条件假言推理的否定前件式,而这只能是一个无效的推理了。

显然,例题(2)的推理形式和它表面上的表达是不一样的。之所以如此,就是因为其中的推理是充要条件的而非充分条件的。为什么如果断定了a2+b2=c2,就可以断定这个三角形是直角三角形了呢?这其实就是因为勾股定理的逆定理是成立的。那为什么如果断定了a2+b2≠c2,则这个三角形就不是直角三角形了呢?这其实是因为勾股定理是成立的,即如果是直角三角形则a2+b2=c2,是直角三角形是其中a2+b2=c2的充分条件,则a2+b2=c2是其为直角三角形的必要条件。总之,a2+b2=c2,既是成为直角三角形的充分条件,也是成为直角三角形的必要条件,即充要条件。

我们现有教材或辅导书的讲解,虽然让学生明白了怎样做题,但并没有让学生真正明白其中存在的“道理”或者逻辑。

勤思多练

1.试分析下列论证,指出其中的论题、论据和论证方式。

(1)已知:△ABC

求证:∠A+∠B+∠C=180°

证明:如图7—2,过点A作直线L,使L∥BC;

因为L∥BC,所以∠2=∠4(两直线平行,内错角相等);

同理,∠3=∠5;

因为∠1,∠4,∠5组成平角,所以,∠1+∠4+∠5=180°(平角定义);

所以,∠1+∠2+∠3=180°(等量交换)。

(2)基本初等函数都是连续的。因为我们已经证明,角函数和反函数是连续的,幂函数是连续的,指数函数是连续的,对数函数是连续的,而角函数、反函数、幂函数、指数函数和对数函数是所有的基本初等函数。

2.单项选择题。

(1)美国食品和药物管理局(FDA)管理在市场中引入的新的治疗药剂,因此它在改善美国人的健康方面起了非常关键的作用。那些在学校里、政府研究团体内的人的职责是从事长期的研究,以图发现新的治疗药剂,并对它们进行临床验证。而使实验室里的新发现比较容易地转移到市场上是FDA的作用和职责。新的重要的治疗方法只有在转移之后才能有助于病人。

以下哪项最可能是上面陈述的一个推论?

A.FDA有责任确保任何销售到市场上的治疗药剂在当时都处于受控状态。

B.在新的治疗药剂到达市场之前,它们不能帮助病人。

C.研究团体有责任对新药进行特别长期的测试,而FDA却没有这样的责任。

D.FDA应该更紧密地与研究者合作以确保治疗药剂的质量不会下降。

(2)张华是甲班学生,对围棋感兴趣。该班学生或者对国际象棋感兴趣,或者对军棋感兴趣;如果对围棋感兴趣,则对军棋不感兴趣。因此,张华对中国象棋感兴趣。

以下哪项最可能是上述论证的假设?

A.如果对国际象棋感兴趣,则对中国象棋感兴趣。

B.甲班对国际象棋感兴趣的学生都对中国象棋感兴趣。

C.围棋和中国象棋比军棋更具挑战性。

D.甲班所有学生对中国象棋感兴趣。