典型案例

在数学证明尤其是几何证明中，一般都离不开论证。在把握数学定理的证明过程中，首先必须分清论题和论据，然后，还需要弄清楚其中所用到的推理形式或者论证方式，才能更有效地学习相应的知识，并将之转换为一种论证能力。

现行初一数学课本（人教版）下册，在讲“平行线的性质”时，给出了下面的问题来让学生思考：

上一节，我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”。类似地，你能根据性质1（两直线平行，同位角相等），推出性质2（两直线平行，内错角相等）吗？

如图7—1所示：

因为a∥b，所以，∠1=∠2（同位角相等）。

又∠3=∠1（对顶角相等），

所以，∠2=∠3。

对于上述问题，目前我们的教材或者教辅书上，在分析相应的证明时，主要将相应问题分为题设和结论两个部分，认为它们都是判断，而题设和结论之间就是“如果……那么……”的关系。其实，如果真正能够处处从一个证明的内在结构来加以分析，可能效果会比现在的情况要好得多。

逻辑辨析

在上述“平行线的性质”的思考问题中，我们可以这样来分析：

首先，这个问题的目标、目的是什么，也就是论点、论题或结论是什么？然后就是给出了什么样的已知条件，即论据或根据。最后，也是最重要的，就是怎样根据所给出的已知条件来推出或者论证论点的成立。其中，必须讲清楚具体论证过程中所用到的基本推理形式或者论证形式。经过长期教学，学生就可以习惯这样的逻辑思维模式，从而更好、更严谨地去理解和把握证明。

知识链接

任何一个证明都是由论题、论据和论证方式三个要素构成的。

论题也称为论点，是指通过论证要确定其真实性的判断。它回答的是“证明什么”的问题。上述问题思考中证明的论题是：平行线的性质2（两直线平行，内错角相等）。

论据也称为证据，它是用来确定论题真实性的判断。回答的是“用什么来证明”的问题。上述问题思考中，平行线的性质1（两直线平行，同位角相等）等都是论据。

可以作为论据的判断包括两类。一类是已被确认的关于事实的判断，即事实论据。另一类是表述科学原理的判断，即理论论据。用前者作为论据去证明论题叫作“摆事实”，用后者作为论据去证明论题叫作“讲道理”。用论据证明论题的过程实际上就是“摆事实，讲道理”的过程。就上述问题思考中的证明而言，“a∥b”是事实论据，而“平行线的性质1（两直线平行，同位角相等）”、“对顶角相等”等则是理论论据。

论证方式是指论据和论题之间的联系方式，即证明过程中所使用的推理形式。它回答的是“怎样用论据证明论题”的问题。上述问题思考中的证明，首先使用了下面的推理，即：如果两条直线平行，那么同位角相等；a∥b；所以，∠1=∠2。该推理为充分条件肯定前件到肯定后件的假言推理，是一个形式有效的推理。

上述问题思考中，在论证“∠2=∠3”的真实性时，运用了下面一个传递关系的有效推理，即：∠1=∠2；∠3=∠1；所以，∠2=∠3。

而且，关于∠3=∠1的得出，又运用了下述三段论推理，即：凡对顶角都相等；∠3与∠1是对顶角；所以，∠3=∠1。

总之，上述问题思考中所用到的论证都属于演绎论证。数学证明中，大量使用的都是演绎论证。

扩展延伸

在数学证明中，如果一个判断表述为充分条件判断，则意味着其前件为前提或论据，后件为结论或论点。其后件才是真正要确证的目标，前件则是已知条件，而且通常都是关于事实的已知论据。而要确证所要求证的判断为真，当然还需要运用更多的已知条件，这些已知条件通常都是理论论据或者前面已经得到确证的定理。

数学中所说的逆定理，是说一个定理的逆判断也是成立的。两个定理互为逆定理则意味着，这两个定理的判断之间具有相互推出的关系，这时的定理其实断定了一个充要条件的假言判断。

如上述问题思考中的性质1：如果两条直线平行，那么同位角相等。其逆定理是：如果同位角相等，那么两条直线平行。性质1及其逆定理还可以表述为：当且仅当两条直线平行，其同位角相等。

现行初一数学课本（人教版）下册，在讲述勾股定理的逆定理时，给出了下面的例题：

判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：

（1）a=15，b=8，c=17；

（2）a=13，b=14，c=15。

分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方。

解：（1）因为15^{2+82=225+64=289，而且172=289，所以，152+82=172，这个三角形是直角三角形。}

（2）因为13^{2+142=169+196=365，而152=225，所以，132+142≠152，这个三角形不是直角三角形。}

上述例题的“解”中，例（1）和例（2）的最后一句都是论点，而前面部分都是论据。但在它们的求解过程中，所用到的推理是不同的。例题（1）中用到的是充要条件假言推理的肯定前件式；例题（2）所用的推理则是充要条件假言推理的否定前件式，但都是有效的推理形式。即：

（1）当且仅当在一个三角形中，a^{2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形；152+82=172；所以，这个三角形是直角三角形。}

（2）当且仅当在一个三角形中，a^{2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形；132+142≠152；所以，这个三角形不是直角三角形。}

简单分析例题（1）和（2），似乎用的都是充分条件假言推理而已。但如果这样看待的话，则例题（2）就是一个充分条件假言推理的否定前件式，而这只能是一个无效的推理了。

显然，例题（2）的推理形式和它表面上的表达是不一样的。之所以如此，就是因为其中的推理是充要条件的而非充分条件的。为什么如果断定了a^{2+b2=c2，就可以断定这个三角形是直角三角形了呢？这其实就是因为勾股定理的逆定理是成立的。那为什么如果断定了a2+b2≠c2，则这个三角形就不是直角三角形了呢？这其实是因为勾股定理是成立的，即如果是直角三角形则a2+b2=c2，是直角三角形是其中a2+b2=c2的充分条件，则a2+b2=c2是其为直角三角形的必要条件。总之，a2+b2=c2，既是成为直角三角形的充分条件，也是成为直角三角形的必要条件，即充要条件。}

我们现有教材或辅导书的讲解，虽然让学生明白了怎样做题，但并没有让学生真正明白其中存在的“道理”或者逻辑。

勤思多练

1.试分析下列论证，指出其中的论题、论据和论证方式。

（1）已知：△ABC

求证：∠A+∠B+∠C=180°

证明：如图7—2，过点A作直线L，使L∥BC；

因为L∥BC，所以∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）；

同理，∠3=∠5；

因为∠1，∠4，∠5组成平角，所以，∠1+∠4+∠5=180°（平角定义）；

所以，∠1+∠2+∠3=180°（等量交换）。

（2）基本初等函数都是连续的。因为我们已经证明，角函数和反函数是连续的，幂函数是连续的，指数函数是连续的，对数函数是连续的，而角函数、反函数、幂函数、指数函数和对数函数是所有的基本初等函数。

2.单项选择题。

（1）美国食品和药物管理局（FDA）管理在市场中引入的新的治疗药剂，因此它在改善美国人的健康方面起了非常关键的作用。那些在学校里、政府研究团体内的人的职责是从事长期的研究，以图发现新的治疗药剂，并对它们进行临床验证。而使实验室里的新发现比较容易地转移到市场上是FDA的作用和职责。新的重要的治疗方法只有在转移之后才能有助于病人。

以下哪项最可能是上面陈述的一个推论？

A.FDA有责任确保任何销售到市场上的治疗药剂在当时都处于受控状态。

B.在新的治疗药剂到达市场之前，它们不能帮助病人。

C.研究团体有责任对新药进行特别长期的测试，而FDA却没有这样的责任。

D.FDA应该更紧密地与研究者合作以确保治疗药剂的质量不会下降。

（2）张华是甲班学生，对围棋感兴趣。该班学生或者对国际象棋感兴趣，或者对军棋感兴趣；如果对围棋感兴趣，则对军棋不感兴趣。因此，张华对中国象棋感兴趣。

以下哪项最可能是上述论证的假设？

A.如果对国际象棋感兴趣，则对中国象棋感兴趣。

B.甲班对国际象棋感兴趣的学生都对中国象棋感兴趣。

C.围棋和中国象棋比军棋更具挑战性。

D.甲班所有学生对中国象棋感兴趣。