典型案例

德国著名数学家高斯，在很小的时候就表现出非凡的数学天才。他十岁那一年，还是一个小学生。有一次，上算术课，老师出了一道算术题，他叫孩子们计算一下：

1+2+3+…+98+99+100=？

老师心里想：要加的数目这么多，可得费些工夫呢！而且稍不留心，答案就会弄错。可是，没过多大会儿，就有个孩子举起手并说出了正确的答案。

老师感到非常惊奇，这孩子是怎么得来的答案呢？

逻辑辨析

小学生高斯为什么会如此快地就得出了答案呢？原来他虽然还是小学生，但具有非常敏锐的洞察力。他看到了一连串要加的数目（从1到100）中，第一项和倒数第一项，第二项和倒数第二项，第三项和倒数第三项……每一对的和数都是101，而这样的数刚好有50对，因此，101×50=5050。

高斯之所以能如此迅速、准确地求得题目的答案，是因为他正确地运用了完全归纳推理的形式，找到了一种迅速、准确的解题方法。

知识链接

什么是完全归纳推理？完全归纳推理就是根据某类事物中每一个对象都具有某种属性，推出该类事物都具有该属性的推理。例如：

当知道太平洋产石油、印度洋产石油、北冰洋产石油、大西洋产石油，并且太平洋、印度洋、北冰洋、大西洋是世界上的全部大洋之后，就可以推出结论：世界上的全部大洋都产石油。

完全归纳推理可用公式表示为：

S_1是P；

S_2是P；

…………

S_n是P；

S_{1，S2，…，Sn是S类的全部对象；}

所以，所有S是P。

完全归纳推理的特点是，前提考察的是一类事物的全体对象，结论所断定的范围没有超出前提的范围，因此，前提与结论之间的联系是必然的。完全归纳推理本质上是一种必然性的推理。

完全归纳推理有以下两个要求：一是前提中需要考察一类事物的全部对象，否则就不是完全归纳推理；二是前提中对每一个别对象的断定都必须是真实可靠的。

高斯正是在前提中完全考察了100这个数内的所有对应的两个数字之和分别等于101，即1+100=101，2+99=101，…，50+51=101，然后得出结论：100这个数内所有各个相应的首尾两数之和都等于101。

扩展延伸

数学中许多问题，都可以采用完全归纳推理来求解。比如，证明所有三角形的三个内角和都等于180度：

我们知道，直角三角形的三个内角和等于180度，锐角三角形的三个内角和等于180度，钝角三角形的三个内角和等于180度。而全部的三角形都无非是直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。所以，全部三角形的三个内角和都是180度。

这一证明过程表明，有些无穷问题可以通过有穷完全方法来进行把握。

同理，可以证明全部三角形的面积都等于底乘高再乘以1/2。

上述高斯的推理，可以结合梯形面积的求解公式来求解。梯形面积的公式是：上底加下底乘高再乘以1/2。于是：

1+2+3+…+98+99+100=（1+100）×100×1/2=5050。

但是完全归纳的作用范围毕竟是有限度的，实际思维中大量的推理问题需要通过运用不完全归纳推理来解决。

不完全归纳推理，是根据一类事物中的部分对象具有某种属性，推出该类对象都具有某种属性的推理。比如：

已知某市甲公司实行与利润挂钩的工资制度以后效益提高了，乙公司实行与利润挂钩的工资制度以后效益提高了，丙公司实行与利润挂钩的工资制度以后效益提高了……所以，该市所有实行与利润挂钩的工资制度的公司，在实行该制度后效益都提高了。

不完全归纳推理的特点是，前提中只是断定了一类事物的部分对象具有某种属性，结论却是断定该类事物的全部对象都具有某种属性，结论所断定的知识范围超出了前提。不完全归纳推理的归纳强度不必然等于1。因此，前提与结论间的联系是或然的，结论也是或然的。不完全归纳推理包括简单枚举归纳推理和科学归纳推理。

勤思多练

1.下列结论是否可以通过完全归纳推理得到？为什么？

（1）原子都是可分的。

（2）人人都是有思维能力的。

（3）蚂蚁搬家蛇过道，老牛大叫雨就到。

（4）在24~28之间没有质数。

（5）我们厂所有车间都实现了生产自动化。

（6）绿色植物可通过光合作用把水和二氧化碳变成糖类而放出氧气。

（7）春夏秋冬，周而复始。

（8）天下乌鸦一般黑。

2.单项选择题。

（1）陈华图便宜花50元买了双旅游鞋，不到一个月鞋底就断了。不久，他按市价的几乎一半买了件皮夹克，结果发现原来是仿羊皮的。于是他得出结论：便宜无好货。

陈华得出结论的思维方法，与下列哪项最为类似？

A.李京是语文教师，他仔细地阅改了每一篇作文，得出结论：全班同学的文字表达能力普遍有提高。

B.王江检验一批产品，第一件合格，第二件是次品，于是得出结论：这批产品不全合格。

C.王强邻居的小男孩，头发有两个旋，脾气很犟；王强的小侄子，头发也有两个旋，脾气也很犟。王强因此得出结论：头发上有两个旋的孩子，脾气都很犟。

D.李文认为头发上有两个旋的孩子都很犟，因此得出结论：自己的孩子脾气不犟是因为头发上只有一个旋。

（2）婚礼看得见，爱情看不见；情书看得见，思念看不见；花朵看得见，春天看不见；水果看得见，营养看不见；帮助看得见，关心看不见；刮风看得见，空气看不见；文凭看得见，水平看不见。有人由此得出结论：看不见的东西比看得见的东西更有价值。

下面哪个选项使用了与题干中同样的推理方法？

A.三角形可以分为直角三角形、钝角三角形和锐角三角形三种。直角三角形的三内角之和等于180度，钝角三角形的三内角之和等于180度，锐角三角形的三内角之和等于180度，所以，所有三角形的三内角之和都等于180度。

B.我喜欢“偶然”胜过“必然”。你看，奥运会比赛中充满了悬念，比赛因此激动人心；艺术家的创作大多出自“灵机一动”；科学发现与发明常常与“直觉”、“灵感”、“顿悟”、“机遇”连在一起；在茫茫人海中偶然碰到“他”或“她”，互相射出丘比特之箭，成就人生中最美好的一段姻缘。因此，我爱“偶然”，我要高呼“偶然性万岁！”

C.外科医生在给病人做手术时可以看X光片，律师在为被告辩护时可以查看辩护书，建筑师在盖房子时可以对照设计图，教师在备课时可以看各种参考书，为什么不允许学生在考试时看教科书及其他相关材料？

D.玫瑰花好看，因为所有的花都好看。